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%%使表格美观
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%\newcolumntype{N}{@{}m{0pt}@{}}
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\newtheorem{myexample}{例}

% 信息设置
\title[奇异期权]{《金融数学》第6章：奇异期权}
%\author{ZFW}
%\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[6.1.]  障碍期权 
\item[6.2.]  重置期权 
\begin{enumerate}
\item[6.2.1.]  规定时间的重置期权
\item[6.2.2.]  规定水平的重置期权
\end{enumerate}
\item[6.3.]  亚式期权
\item[6.4.]  其它奇异期权
\begin{enumerate}
\item[6.4.1.]  天气期权
\item[6.4.2.]  经理人股票期权
\item[6.4.3.]  护照期权
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1. 障碍期权 }

\begin{itemize}

\item  敲出期权：当标的资产价格价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。

\item  敲入期权：当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。

\item  例子：
\begin{itemize}
\item  下降敲出看涨期权的到期收益：$(S_T-X)^+ I_{\{S_t>B, t\in [0,T]\}}$. 
当样本路径 $\{S_t,t\in[0,T]\}$ 处处位于障碍 $B$ 之上时，该期权的到期收益为 $(S_T-X)^+$.  

\item  下降敲出看跌期权的到期收益：$(X-S_T)^+ I_{\{S_t>B, t\in [0,T]\}}$. 
当样本路径 $\{S_t,t\in[0,T]\}$ 处处位于障碍 $B$ 之上时，该期权的到期收益为 $(X-S_T)^+$.  

\end{itemize}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1. 定理6.1.1.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}如果股票价格服从几何布朗运动 $dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$, $0\le t\le T$, 则欧式看跌向下敲出障碍期权的定价公式为 
\begin{eqnarray*}
V(S,t) &=& Xe^{-r(T-t)} \left[ [N(d_4)-N(d_2)]-(BS^{-1})^{\frac{2r}{\sigma^{2}}-1} [N(d_7)-N(d_5)]\right] \\ 
&& -S \left[ [N(d_3)-N(d_1)] - (BS^{-1})^{\frac{2r}{\sigma^{2}}+1} [N(d_8)-N(d_6)]\right],
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.  }

\begin{itemize}

\item  其中 
\begin{eqnarray*}
d_1 = \frac{\ln(S/X) + (r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \,\, && \,\, d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}, \\
d_3 = \frac{\ln(S/B) + (r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \,\, && \,\, d_4=d_3-\sigma\sqrt{T-t}, \\
d_5 = \frac{\ln(S/X) - (r-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \,\, && \,\, d_6=d_5-\sigma\sqrt{T-t}, \\
d_7 = \frac{\ln(SX/B^2) - (r-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \,\, && \,\, d_8=d_1-\sigma\sqrt{T-t}. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1.  }

\begin{itemize}

\item  例子6.1. 设股票价格服从几何布朗运动 $dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$, $0\le t\le T$, 
设无风险利率 $r=0.1$, 波动率 $\sigma=0.4$, 到期日 $T=5/12$, 敲定价格 $X=50$, 当前股价 $S_0=49$, 障碍值 $B=30$. 
使用蒙特卡洛方法求向下敲出欧式看跌障碍期权的价格。

\item  解答：在风险中性测度下，向下敲出欧式看跌期权的价格为
$$V(S,0)=\mathbb{E}[e^{-rT}(X-S_T)^+I_{\{ S_t>B, t\in [0,T] \}}].$$
障碍期权的价格依赖于股票价格过程演化的路径。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.1. 模拟计算步骤 }

\begin{enumerate}

\item  将时间区间 $[0,T]$ 均匀分成 $M$ 等分，每段长度为 $\Delta t = T/M$,
$$0=t_1<t_2<\cdots<t_{M+1}=T. $$ 
\item  模拟路径上每个离散时间点股票价格，对 $j=1,2,\cdots, M$, 
$$S(t_{j+1}) = S(t_j)\exp\left[ \left(r-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)(t_{j+1}-t_j) + \sigma\sqrt{t_{j+1}-t_j} Z_{j+1} \right]. $$
\item  把向下敲出的样本路径的期权价值记为零。
\item  计算没有跌破障碍的样本路径的期权价值。
\item  计算所有模拟路径的期权价值的平均值。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1. R代码（公式解 -- part 1） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
T=5/12; r=0.1; sigma=0.4; X=50; S=49; B=30

d1=(log(S/X)+(r+0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T))
d2=d1-sigma*sqrt(T)

d3=(log(S/B)+(r+0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T))
d4=d3-sigma*sqrt(T)

d5=(log(S/B)-(r-0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T))
d6=d5-sigma*sqrt(T)

d7=(log(S*X/B/B)-(r-0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T))
d8=d7-sigma*sqrt(T)
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1. R代码（公式解 -- part 2） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
ND42 = pnorm(d4)-pnorm(d2)
BSN75 = (B/S)^(2*r/sigma/sigma-1)*(pnorm(d7)-pnorm(d5))

ND31 = pnorm(d3)-pnorm(d1)
BSN86 = (B/S)^(2*r/sigma/sigma+1)*(pnorm(d8)-pnorm(d6))

V_exact = X*exp(-r*T)*(ND42-BSN75) - S*(ND31-BSN86)
print(V_exact)
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1. R代码（模拟一条路径） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
T=5/12; r=0.1; sigma=0.4; X=50; S=49; B=30
M=100 #时间区间分成小区间个数
dt=T/M; p1=(r-0.5*sigma^2)*dt; p2=sigma*sqrt(dt)
z=rnorm(M) #生成每条路径的节点上的随机数
my_stock=rep(0,M)
my_stock[1]=S

for (j in 1:M) my_stock[j+1]=my_stock[j]*exp(p1+p2*z[j])
plot(my_stock,type='l')
if (min(my_stock)<B) my_payoff=0 else 
  my_payoff=max(0,X-my_stock[M])
my_option = exp(-r*T)*my_payoff
print(my_stock[M]); print(my_option)
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1. R代码（模拟很多路径 -- 被调用函数） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
my_option_onerun <- function(){
  ##例子6-1，模拟一条样本路径，计算向下敲出欧式看跌障碍期权
  
  z=rnorm(M) #生成这条样本路径的每个节点上的随机数
  my_stock=rep(0,M)
  my_stock[1]=S #股票的初始价格是S
  for (j in 1:M) my_stock[j+1]=my_stock[j]*exp(p1+p2*z[j])
  if (min(my_stock)<B) my_payoff=0 else
    my_payoff=max(0,X-my_stock[M])
  my_option = exp(-r*T)*my_payoff
  return(my_option)
  
}
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1. R代码（模拟很多路径 -- 主函数） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
T=5/12; r=0.1; sigma=0.4; X=50; S=49; B=30
dt=T/M; p1=(r-0.5*sigma^2)*dt; p2=sigma*sqrt(dt)
M=100 #时间区间分成小区间个数

N=1000 #要模拟的样本路径的条数
my_options_N_run=rep(0,N) #记录每条路径对应的期权价格

source('~/Desktop/20180718/fm2022/fm2022-slides/
       my_option_onerun.R')
for (k in 1:N) my_options_N_run[k]=my_option_onerun()
V_mc=mean(my_options_N_run)
print(V_mc)
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2. 重置期权 }

\begin{itemize}

\item  重置期权：当标的资产价格达到某一预先给定的水平时，按约定重置敲定价格，使得持有人有更多的获益机会。

\item  两类重置期权：
\begin{enumerate}
\item  规定时间的重置期权：重置敲定价格的过程只在预先约定的时间进行。
\item  规定水平的重置期权：在预先规定的水平上重新设置敲定价格。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.1. 规定时间的重置期权（单点时间） }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}单点时间欧式重置看涨期权}：对于事先约定的敲定价格 $X$, 以及规定的重置时间 $\tau$, 如果在 $\tau$ 时刻的原生资产的价格 $S_\tau<X$, 那么重新设置敲定价格为 $S_\tau$, 否则保持原来的敲定价格 $X$. 

\item  单点时间欧式重置看涨期权收益：

\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|M{5cm}|M{3cm}|M{3cm}|} \hline 
条件 & 是否重置 & 到期收益 \\ \hline 
$S_\tau<X$ 且 $S_\tau<S_T$  & 重置 & $S_T-S_\tau$  \\ \hline 
$S_\tau\ge X$ 且 $X<S_T$  & 不重置 & $S_T-X$  \\ \hline 
$S_\tau<X$ 且 $S_\tau\ge S_T$  & 重置 & 0  \\ \hline 
$S_\tau\ge X$ 且 $X\ge S_T$  & 不重置 & 0  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{table}
 
 
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.1. 定理6.2.1. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}设股票价格服从几何布朗运动 $$dS(t) = (r-q)S(t)dt + \sigma S(t)dW(t),\,\,\, 0\le t\le T, $$
其中$r$ 是无风险利率，$q$ 是连续红利率，$\sigma$ 是波动率，$W(t)$ 是标准布朗运动，则单点时间欧式重置看涨期权的定价公式为 
\begin{eqnarray*}
V(S,t) &=& Se^{-qT} N(- \tilde{d}_1)N(b_1) - Se^{-rT} e^{(r-q)\tau} N(-\tilde{d}_1)N(b_2) \\ 
&& + Se^{-qT} N_2(-\tilde{d}_1,d_1,\sqrt{\tau/T}) - K e^{-rT} N_2(\tilde{d}_2,d_2,\sqrt{\tau/T}). 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.1.  }

\begin{itemize}

\item  其中 $N$ 是标准正态分布函数， $N_2$ 是二维标准正态分布函数，
\begin{eqnarray*}
d_1 = \frac{\ln(S/X) + (r-q+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}, \,\, && \,\, d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}, \\
\tilde{d}_1 = \frac{\ln(S/X) + (r-q+\frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma \sqrt{\tau}}, \,\, && \,\, \tilde{d}_2=\tilde{d}_1-\sigma\sqrt{\tau}, \\
b_1 = \frac{ (r-q+\frac{\sigma^2}{2})(T-\tau)}{\sigma \sqrt{T-\tau}}, \,\, && \,\, b_2=b_1-\sigma\sqrt{T-\tau}.
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.1.  }

\begin{itemize}

\item  例子6.2. 设股票价格服从几何布朗运动 $dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$, $0\le t\le T$, 
设无风险利率 $r=0.1$, 波动率 $\sigma=0.4$, 到期日 $T=1$, 敲定价格 $X=50$, 当前股价 $S_0=50$, 重置时间水平为 $\tau=0.5$. 使用蒙特卡洛方法求在 $t=0$ 时刻单点时间重置欧式看涨期权的价格。

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.2.2. 规定水平的重置期权（单点水平） }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}单点水平欧式重置看涨期权}：事先约定的敲定价格为 $X$, 事先约定的重置价格水平为 $X_1<X$, 在期权的有效期内，如果原生资产的最小值跌破事先约定的重置水平，就重置期权的敲定价格。

\item  设 $\hat{X}$ 为最终的期权敲定价格，则期权的到期日收益为 $$V(S_T,T) = \max(S_T-\hat{X},0). $$

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3. 亚式期权 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}亚式期权：又称平均价格期权，在到期日确定期权收益时，不是采用标的资产当时的市场价格，而是用期权合同期内某段时间标的资产价格的平均值，这段时间称为平均期。}

\item  亚式期权的重要作用：
\begin{enumerate}
\item  避免人为炒作股票价格。
\item  减少公司员工进行内幕交易。
\end{enumerate}

\item  在对价格进行平均时，采用算术平均或几何平均。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.  }

\begin{itemize}

\item  离散情形的算术平均和几何平均分别定义为
\begin{eqnarray*}
J_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} S(t_i) \,\,\text{和}\,\, J_n = \left( \prod\limits_{i=1}^{n} S(t_i) \right)^{1/n}. 
\end{eqnarray*}

\item  连续情形的算术平均和几何平均分别定义为
\begin{eqnarray*}
J_n = \frac{1}{t} \int_0^t S(\tau)d\tau \,\,\text{和}\,\, J_n = \exp \left( \frac{1}{t} \int_0^t \ln S(\tau) d\tau \right).  
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.  }

\begin{itemize}

\item  按执行价格分类的亚式期权标的：

\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|M{3cm}|M{5cm}|} \hline 
分类 & 亚式期权到期收益 \\ \hline 
固定执行价格 & $V(J_T,T)=(J_T-X)^+ $ \\ \hline 
浮动执行价格 & $V(J_T,T)=(S_T - J_T)^+ $ \\ \hline 
\end{tabular}
\end{table}

\item 四类亚式期权：
\begin{enumerate}
\item  具有固定敲定价格的算术平均亚式期权。
\item  具有固定敲定价格的几何平均亚式期权。
\item  具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权。
\item  具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1. 定理6.3.1. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}设股票价格服从几何布朗运动 $$dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t),\,\,\, 0\le t\le T, $$ 则几何平均亚式看涨期权在初始时刻的定价公式为 
\begin{eqnarray*}
C_G(S,0) = Se^{-\frac{T}{2}(r+\frac{\sigma^2}{6})} N(d_1) - Xe^{-rT}N(d_2).
\end{eqnarray*}
}

\item  其中 
\begin{eqnarray*}
d_1 = \frac{\ln(S/X) + (r+\frac{\sigma^2}{6})(T/2)}{\sigma \sqrt{T/3}}, \,\,\,\, d_2=d_1-\sigma\sqrt{T/3}. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1.  }

\begin{itemize}

\item  例子6.3. 设股票价格服从几何布朗运动 $$dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t),\,\,\, 0\le t\le T. $$
设无风险利率 $r=0.1$, 波动率 $\sigma=0.4$, 到期日 $T=1$, 敲定价格 $X=50$, 当前股价 $S_0=60$, 
使用蒙特卡洛方法，以几何平均亚式期权的封闭解作为控制变量，求在 $t=0$ 时刻算术平均亚式期权的价格。

\item  解答：模拟计算分为下述三步。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1. 模拟计算步骤 }

\begin{enumerate}

\item  设在第 $k$ 次 ($1\le k\le N$) 模拟中，股票价格的样本路径在各节点的值为 $$S_k(t_1), S_k(t_2), \cdots, S_k(t_M). $$ 

\item  这条路径上的算术平均和几何平均分别为 
\begin{eqnarray*}
J_k = \frac{1}{M} \sum\limits_{j=1}^{M} S_k(t_j), \,\,\hspace{1cm}\,\, G_k = \left( \prod\limits_{j=1}^{M} S_k(t_j) \right)^{1/M}. 
\end{eqnarray*}

\item  以几何平均亚式看涨期权的价格的公式解 $C_0$ 作为控制变量，算术平均亚式看涨期权的价格的估计量为
\begin{eqnarray*}
\tilde{C}_J = \frac{1}{N} e^{-rT} \sum\limits_{k=1}^{N} \left[ (J_k - X)^+ -\alpha ((G_k-X)^+ - e^{rT}C_0) \right]. 
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.3.1. R代码（几何平均亚式期权公式解） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
T=1; r=0.1; sigma=0.4; X=50; S=60

d1=(log(S/X)+(r+sigma^2/6)*T/2)/(sigma*sqrt(T/3))
d2=d1-sigma*sqrt(T/3)

G_asian_exact=S*exp(-((r+sigma^2/6)*T/2))*pnorm(d1)
	-X*exp(-r*T)*pnorm(d2)
	
print('几何平均亚式期权价格解析解：')
print(G_asian_exact)

\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.3.1. R代码（亚式期权蒙特卡洛方法 -- part 1） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
T=1; r=0.1; sigma=0.4; X=50; S=60; M=100 #时间小区间个数
dt=T/M; p1=(r-0.5*sigma^2)*dt; p2=sigma*sqrt(dt)
N=1000 #模拟的样本路径一共有N条
J_R=rep(0,N) #用来保存每条路径的算术平均
G_R=rep(0,N) #用来保存每条路径的几何平均

for (k in 1:N) {
  z=rnorm(M) #生成每条路径的节点上的随机数
  my_stock=S*exp(c(0,cumsum(p1+p2*z))) #使用GBM解析解
  #plot(0:M,my_stock,type='l')
  J_R[k]=mean(my_stock) #算术平均
  G_R[k]=exp(sum(log(my_stock))/M) #几何平均
}
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.3.1. R代码（亚式期权蒙特卡洛方法 -- part 2） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
V_J_asian_sa=exp(-r*T)*(J_R-X)*(J_R>X) #固定执行价格到期收益
V_G_asian_sa=exp(-r*T)*(G_R-X)*(G_R>X)

V_J_asian_mc=mean(V_J_asian_sa)
V_G_asian_mc=mean(V_G_asian_sa)

print('标准蒙特卡洛方法算术平均亚式期权价格：')
print(V_J_asian_mc)
print('标准蒙特卡洛方法几何平均亚式期权价格：')
print(V_G_asian_mc)
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.3.1. R代码（算术平均亚式期权--控制变量方法） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
alpha=cov(V_J_asian_sa,V_G_asian_sa)/var(V_G_asian_sa)
#控制变量的最优系数

V_J_asian_con_sa=exp(-r*T)*(V_J_asian_sa-
      alpha*(V_G_asian_sa-exp(r*T)*G_asian_exact))
      
V_J_asian_con_mc=mean(V_J_asian_con_sa)
print('控制变量蒙特卡洛方法算术平均亚式期权价格：')
print(V_J_asian_con_mc)
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.3.1. R代码（控制变量方法的方差缩减效果） }

{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=R]
print('标准蒙特卡洛方法算术平均亚式期权价格的样本方差：')
print(var(V_J_asian_sa))

print('控制变量蒙特卡洛方法算术平均亚式期权价格的样本方差：')
print(var(V_J_asian_con_sa))

print('控制变量技术方差缩小比例：')
print(var(V_J_asian_con_sa)/var(V_J_asian_sa))

par(mfrow=c(2,1))
hist(V_J_asian_sa,breaks=20,xlim=c(0,100))
hist(V_J_asian_con_sa,breaks=20,xlim=c(0,100))
par(mfrow=(c(1,1)))
\end{lstlisting}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.3.1. 方差缩减效果 }

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{fig-ex-6-3.png}
% \caption{ }
\end{figure}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.4. 其它奇异期权 }

\begin{itemize}

\item  天气期权
\item  经理人股票期权
\item  护照期权


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.4.1. 天气期权 }

\begin{itemize}

\item  1997年在科赫能源和安然公司之间，开始天气衍生品交易。
\item  两家公司以密尔沃基1997-1998年的冬季气温为参考，基于主要气温指数。
\item  取暖指数、制冷指数、农作物生长指数。
\item  计算每日的平均气温与事先确定的基础气温的偏差。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.4.1. 天气期权 }

\begin{itemize}

\item  例子：累积制冷指数看涨期权。定价公式为
$$e^{-r(T-t)} \mathbb{E}[ \max(0, CCDDs_T - X_c) ],$$
其中 $r$ 是无风险利率，$r$ 是当前时刻，$T$ 是到期日，$X_c$ 是敲定指数。
$$CCDDs = \sum\limits_{i}^{n} CDDs_{i} = \sum\limits_{i}^{n} [\max(0, (Tmax+Tmin)/2-X)]. $$


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{6.4.2. 经理人股票期权 }

\begin{itemize}

\item  企业在与经理人签订合同时，授予经理人未来以签订合同时约定的价格购买一定数量的公司普通股的选择权。

\item  经理人有权在一定时期后出售这些股票。

\item  在合同期内，期权不可转让，也不能得到股息。

\item  将经理人的个人利益同公司股价表现紧密联系起来。

\end{itemize}

\end{frame}

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\begin{frame}{6.4.3. 护照期权 }

\begin{itemize}

\item  由银行信用机构发行，用来规避交易损失。
\item  收益依赖于交易账户资产值。
\item  允许期权持有者在期权有效期内和限定条件下随意改变标的资产的头寸。
\item  1994年首次被引入外汇交易市场。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题6 }

\begin{enumerate}

\item[6.1.]  如例题6.1， 对标准欧式向下敲出看跌期权建立微分方程，用有限差分法求数值解。
\item[6.2.]  仿照单障碍期权定价期望形式，写出所有双障碍期权定价公式的期望形式，并利用蒙特卡洛方法进行计算。
\item[6.3.]  使用蒙特卡洛方法计算累积制冷指数看涨期权定价。

\end{enumerate}

\end{frame}

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\begin{frame}{参考文献}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{zfw} 张寄洲，傅毅，王杨，金融数学，科学出版社，2015年4月第1版。

\end{thebibliography}

\end{frame}


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\end{document}

